O Campo Elétrico: A Força Invisível que Modela o Espaço (Eletrostática e Indução)

 

O Campo Elétrico: A Força Invisível que Modela o Espaço (Eletrostática e Indução)

Imagem de Gerd Altmann por Pixabay

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Se a Lei de Coulomb define a força de atração ou repulsão entre cargas, o conceito de Campo Elétrico \({E}\)  nos oferece o mecanismo de ação, ou seja, a forma como essa força é transmitida através do espaço. O campo elétrico, introduzido por Michael Faraday no século XIX, permite que tratemos a interação entre cargas em duas etapas: primeiro, a carga-fonte cria o campo no espaço; segundo, esse campo age como o agente que exerce a força elétrica sobre qualquer outra carga colocada nessa região.

1. Definição do Vetor Campo Elétrico

O campo elétrico é uma grandeza vetorial. Para medi-lo em qualquer ponto  \(P \) nas proximidades de um objeto carregado, utilizamos uma pequena carga de prova positiva \(q_0 \). Essa carga de prova é usada para "sondar" o campo. A força eletrostática  \({F}\)  medida sobre essa carga de prova é usada para definir o vetor campo elétrico  \({E}\) :

$$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$$

Onde  \({E}\)  e  \({F}\)  têm sempre a mesma direção. O campo elétrico consiste em uma distribuição de vetores, um para cada ponto da região em torno do objeto carregado.

2. Campo Elétrico Gerado por uma Carga Puntiforme

Para uma única carga puntiforme \({q}\) (a carga-fonte), a equação do módulo do campo elétrico  \({E}\)  a uma distância \({r}\)  dela é uma derivação direta da Lei de Coulomb:

$$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q|}{r^2} \quad \text{(carga pontual)}$$

Onde  \(1/(4\pi\epsilon_0)\)  é a constante eletrostática k.

O sentido do vetor \({E}\) é determinado pelo sinal da carga-fonte q:

• Se q é positiva, o campo elétrico aponta para longe da partícula.
• Se q é negativa, o campo elétrico aponta na direção da partícula.

3. Visualizando o Campo: As Linhas de Campo Elétrico

Para visualizar a configuração dos campos elétricos, Michael Faraday imaginou a existência de linhas de campo elétrico.

As regras para essas linhas são fundamentais:

1. O vetor campo elétrico \({E}\)  em qualquer ponto é tangente à linha de campo que passa por esse ponto e possui o mesmo sentido que a linha.
2. As linhas de campo elétrico começam nas cargas positivas e terminam nas cargas negativas.
3. O espaçamento das linhas indica a intensidade do campo: onde as linhas estão mais próximas, o campo é mais intenso.
4. Em um condutor carregado em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico deve ser perpendicular à superfície.

Imagem de Geek3 por Wikimedia Commons

O Princípio da Superposição

Em sistemas com múltiplas cargas (Q_1, Q_2, ..., Q_n) o vetor campo elétrico resultante \({E_res}\) em um ponto P é a soma vetorial dos campos elétricos produzidos separadamente por cada carga naquele ponto.

$$\vec{E}_{\text{total}} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 + \ldots$$

4. Força Exertida pelo Campo

Quando uma carga pontual q é colocada em uma região onde existe um campo elétrico externo \({E}\), a força eletrostática  \({F}\) que age sobre essa carga é dada por:

$$\vec{F} = q \vec{E}$$

Essa equação ilustra a relação direta entre o campo e a força:

• Se a carga q é positiva (q > 0), a força  \({F}\) tem a mesma orientação de  \({E}\).
• Se a carga q é negativa (q < 0), a força  \({F}\) tem o sentido oposto ao de \({E}\).

5. Campos Elétricos Induzidos

É importante notar que nem todos os campos elétricos são gerados por cargas estáticas (campos coulombianos). Um campo magnético variável induz um campo elétrico (induzido), um conceito crucial que liga a eletricidade ao magnetismo através da Lei de Indução de Faraday:

$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = - \frac{d\Phi_B}{dt} \quad \text{(Lei de Faraday)}$$

Este campo elétrico induzido é chamado de campo elétrico não-coulombiano, e suas linhas de campo formam espiras fechadas, violando a regra de que as linhas devem começar e terminar em cargas.

6. Exemplos Resolvidos: 

Exercício 1 (Campo de Carga Pontual)

Uma carga pontual $Q=-25.0\text{nC}$ está localizada na origem de um sistema de coordenadas.
a) Calcule o módulo e a direção do campo elétrico no ponto $P$ situado em $x=0.200\text{m},y=0.300\text{m}$.
b) Se uma carga de prova $q_0=+1.50\text{nC}$ for colocada no ponto $P$, qual será a força elétrica (módulo, direção e sentido) sobre ela?
c) Qual seria a força se a carga de prova fosse negativa, $q_0=-1.50\text{nC}$?

(Adaptado de Serway & Jewett, Exemplo 23.5)

Exercício 1 - Resolução Minuciosa

Dados:

• $Q=-25.0\text{nC}=-25.0\times {10}^{-9}\text{C}$

• Ponto $P=(0.200,0.300)\text{m}$

(a) Campo elétrico em P

Passo 1: Vetor posição de Q para P.
A carga está na origem $O(0,0)$.

$$\vec{r}=\overrightarrow{OP}=(0.200-0)\widehat{i}+(0.300-0)\widehat{j}=0.200\widehat{i}+0.300\widehat{j}\text{m}$$

Passo 2: Distância $r$ e vetor unitário $\widehat{r}$.

$$r=\mathrm{\mid }\vec{r}\mathrm{\mid }=\sqrt{(0.200{)}^2+(0.300{)}^2}=\sqrt{0.04+0.09}=\sqrt{0.13}\approx 0.3606\text{m}$$$$\widehat{r}=\frac{\vec{r}}{r}=\frac{0.200\widehat{i}+0.300\widehat{j}}{0.3606}\approx 0.5547\widehat{i}+0.8321\widehat{j}$$

Passo 3: Cálculo de $\vec{E}$.
Fórmula: $\vec{E}=k_e\frac{Q}{r^2}\widehat{r}$

$$E=(9.0\times {10}^9)\frac{\mathrm{\mid }-25.0\times {10}^{-9}\mathrm{\mid }}{(0.3606{)}^2}=(9.0\times {10}^9)\frac{25.0\times {10}^{-9}}{0.1300}$$$$E=(9.0\times {10}^9)\times (1.923\times {10}^{-7})\approx 1730.7\text{N/C}$$

Mas atenção ao sinal de Q! $Q$ é negativa, então:

$$\vec{E}=k_e\frac{(-25.0\times {10}^{-9})}{(0.3606{)}^2}\widehat{r}=-1730.7\times (0.5547\widehat{i}+0.8321\widehat{j})$$$$\vec{E}\approx (-960\widehat{i}-1440\widehat{j})\text{N/C}$$

Interpretação: O campo tem módulo $\mathrm{\mid }\vec{E}\mathrm{\mid }\approx 1731\text{N/C}$ e aponta em direção à carga negativa na origem (sentido dos vetores $-i$ e $-j$, ou seja, ângulo de ${225}^{\circ }$ com o eixo $+x$).

(b) Força sobre carga de prova $q_0=+1.50\text{nC}$

$$\vec{F}=q_0\vec{E}=(+1.50\times {10}^{-9})\times (-960\widehat{i}-1440\widehat{j})$$$$\vec{F}\approx (-1.44\times {10}^{-6}\widehat{i}-2.16\times {10}^{-6}\widehat{j})\text{N}$$

Módulo: $\mathrm{\mid }\vec{F}\mathrm{\mid }=(1.50\times {10}^{-9})\times 1731\approx 2.60\times {10}^{-6}\text{N}$
A força tem a mesma direção e sentido do campo (pois $q_0>0$), ou seja, aponta para a origem.

(c) Força sobre carga de prova $q_0=-1.50\text{nC}$

$$\vec{F}=q_0\vec{E}=(-1.50\times {10}^{-9})\times (-960\widehat{i}-1440\widehat{j})$$$$\vec{F}\approx (+1.44\times {10}^{-6}\widehat{i}+2.16\times {10}^{-6}\widehat{j})\text{N}$$

Módulo igual: $2.60\times {10}^{-6}\text{N}$
Agora a força tem direção oposta ao campo (pois $q_0<0$), ou seja, aponta para longe da origem.

Exercício 2 (Dipolo Elétrico - Campo no Eixo)

Um dipolo elétrico consiste em duas cargas iguais em módulo $q=5.00\mu \text{C}$, mas de sinais opostos, separadas por uma distância $2a=4.00\text{mm}$. As cargas estão dispostas ao longo do eixo x, com a carga positiva em $x=+a$ e a negativa em $x=-a$.
a) Calcule o campo elétrico resultante no ponto $P$ situado no eixo x, a uma distância $x=10.0\text{cm}$ da origem ($x>a$).
b) Mostre que para distâncias muito maiores que a separação entre as cargas ($x\gg a$), o campo no eixo pode ser aproximado por $E\approx \frac{1}{2\pi {ϵ}_0}\frac{p}{x^3}$, onde $p=2aq$ é o momento de dipolo elétrico.

(Problema similar a Young & Freedman, Exercício 21.61)

Exercício 2 - Resolução Minuciosa (Dipolo Elétrico)

Dados:

• $q=5.00\mu \text{C}=5.00\times {10}^{-6}\text{C}$

• $2a=4.00\text{mm}\Rightarrow a=2.00\times {10}^{-3}\text{m}$

• Ponto $P$: $x=10.0\text{cm}=0.100\text{m}$ (no eixo x, à direita)

(a) Campo resultante em P

DIAGRAMA:

text

Carga -q @ x = -a = -0.002 m
Carga +q @ x = +a = +0.002 m
Ponto P @ x = 0.100 m

Passo 1: Campo da carga positiva ($E_{+}$).
Distância de $+q$ até P: $r_{+}=x-a=0.100-0.002=0.098\text{m}$
Como $q_{+}>0$, o campo sai dela. No eixo x, isso significa sentido $+x$.

$$E_{+}=k_e\frac{q}{r_{+}^2}=(9.0\times {10}^9)\frac{5.00\times {10}^{-6}}{(0.098{)}^2}$$$$E_{+}=(9.0\times {10}^9)\frac{5.00\times {10}^{-6}}{0.009604}=(9.0\times {10}^9)\times (5.206\times {10}^{-4})$$$$E_{+}\approx 4.685\times {10}^6\text{N/C}(\text{dire}\stackrel{¸}{\text{c}}\tilde{\text{a}}\text{o}+x)$$

Passo 2: Campo da carga negativa ($E_{-}$).
Distância de $-q$ até P: $r_{-}=x-(-a)=x+a=0.100+0.002=0.102\text{m}$
Como $q_{-}<0$, o campo entra nela. No eixo x, isso significa sentido $-x$ (em direção à carga negativa).

$$E_{-}=k_e\frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{r_{-}^2}=(9.0\times {10}^9)\frac{5.00\times {10}^{-6}}{(0.102{)}^2}$$$$E_{-}=(9.0\times {10}^9)\frac{5.00\times {10}^{-6}}{0.010404}=(9.0\times {10}^9)\times (4.806\times {10}^{-4})$$$$E_{-}\approx 4.325\times {10}^6\text{N/C}(\text{dire}\stackrel{¸}{\text{c}}\tilde{\text{a}}\text{o}-x)$$

Passo 3: Campo resultante ($E_R$).
Escolhendo $+x$ como positivo:

$$E_R=E_{+}+E_{-}=(+4.685\times {10}^6)+(-4.325\times {10}^6)=+0.360\times {10}^6\text{N/C}$$$$\boxed{{\displaystyle {\vec{E}}_R\approx +3.60\times {10}^5\widehat{i}\text{N/C}}}$$

(b) Aproximação para $x\gg a$

Passo 1: Expressão exata.

$$E_R=E_{+}-E_{-}=k_{e}q[\frac{1}{(x-a{)}^2}-\frac{1}{(x+a{)}^2}]$$

Passo 2: Manipulação algébrica.

$$\frac{1}{(x-a{)}^2}-\frac{1}{(x+a{)}^2}=\frac{(x+a{)}^2-(x-a{)}^2}{(x^2-a^2{)}^2}$$$$(x+a{)}^2-(x-a{)}^2=(x^2+2ax+a^2)-(x^2-2ax+a^2)=4ax$$

Portanto:

$$E_R=k_{e}q\frac{4ax}{(x^2-a^2{)}^2}$$

Passo 3: Aproximação $x\gg a\Rightarrow x^2-a^2\approx x^2$.

$$E_R\approx k_{e}q\frac{4ax}{x^4}=k_e\frac{4aq}{x^3}$$

Lembrando que o momento de dipolo é $p=2aq$:

$$E_R\approx k_e\frac{2p}{x^3}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{2p}{x^3}$$

A expressão pedida tem $1\mathrm{/}(2\pi {ϵ}_0)$. Vamos verificar:

$$k_e=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\Rightarrow E_R\approx \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{2p}{x^3}=\frac{1}{2\pi {ϵ}_0}\frac{p}{x^3}$$

Exato! A pequena diferença na constante vem da definição ($p=2aq$).

$$\boxed{{\displaystyle E\approx \frac{1}{2\pi {ϵ}_0}\frac{p}{x^3}}}$$

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Exercício 3 (Campo de Múltiplas Cargas no Plano)

Três cargas pontuais estão dispostas nos vértices de um triângulo retângulo, conforme mostra a figura:

text

    q1(-4.0 μC) @ (0, 0.30 m)
      |
      | 
      |  hipotenusa
      | 
      *-----------*
    q2(+5.0 μC)   q3(+6.0 μC)
    @ (0,0)       @ (0.40 m, 0)

Calcule o campo elétrico resultante (módulo, direção e sentido) no ponto $P$ situado no vértice vazio do retângulo que contém o triângulo, ou seja, em $P=(0.40\text{m},0.30\text{m})$.

(Inspirado em problemas do Halliday, Resnick & Walker, Cap. 22)

Exercício 3 - Resolução Minuciosa (Campo no Plano)

Dados:

• $q_1=-4.0\mu \text{C}=-4.0\times {10}^{-6}\text{C}$ em $A(0,0.30\text{m})$

• $q_2=+5.0\mu \text{C}=+5.0\times {10}^{-6}\text{C}$ em $B(0,0)$

• $q_3=+6.0\mu \text{C}=+6.0\times {10}^{-6}\text{C}$ em $C(0.40\text{m},0)$

• Ponto $P=(0.40,0.30)\text{m}$

DIAGRAMA É CRUCIAL: Desenhe os pontos. P é o vértice superior direito do retângulo.

Campo de cada carga em P:

1. Campo de $q_1$ (${\vec{E}}_1$):

• Vetor de $q_1$ para P: ${\vec{r}}_1=(0.40-0)\widehat{i}+(0.30-0.30)\widehat{j}=0.40\widehat{i}$

• Distância: $r_1=0.40\text{m}$

• Vetor unitário: ${\widehat{r}}_1=\widehat{i}$

• $q_1<0$: campo entra na carga (aponta para ela).

$$E_1=k_e\frac{\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }}{r_1^2}=(9.0\times {10}^9)\frac{4.0\times {10}^{-6}}{(0.40{)}^2}=(9.0\times {10}^9)\frac{4.0\times {10}^{-6}}{0.16}$$$$E_1=(9.0\times {10}^9)\times 2.5\times {10}^{-5}=2.25\times {10}^5\text{N/C}$$

Como $q_1$ está à esquerda de P e é negativa, o campo em P aponta para a esquerda ($-\widehat{i}$).

$${\vec{E}}_1=-2.25\times {10}^5\widehat{i}\text{N/C}$$

2. Campo de $q_2$ (${\vec{E}}_2$):

• Vetor de $q_2$ para P: ${\vec{r}}_2=(0.40-0)\widehat{i}+(0.30-0)\widehat{j}=0.40\widehat{i}+0.30\widehat{j}$

• Distância: $r_2=\sqrt{{0.40}^2+{0.30}^2}=0.50\text{m}$

• Vetor unitário: ${\widehat{r}}_2=\frac{0.40\widehat{i}+0.30\widehat{j}}{0.50}=0.8\widehat{i}+0.6\widehat{j}$

• $q_2>0$: campo sai da carga.

$$E_2=k_e\frac{q_2}{r_2^2}=(9.0\times {10}^9)\frac{5.0\times {10}^{-6}}{(0.50{)}^2}=(9.0\times {10}^9)\frac{5.0\times {10}^{-6}}{0.25}$$$$E_2=(9.0\times {10}^9)\times 2.0\times {10}^{-5}=1.80\times {10}^5\text{N/C}$$$${\vec{E}}_2=E_2{\widehat{r}}_2=(1.80\times {10}^5)(0.8\widehat{i}+0.6\widehat{j})=(1.44\times {10}^5\widehat{i}+1.08\times {10}^5\widehat{j})\text{N/C}$$

3. Campo de $q_3$ (${\vec{E}}_3$):

• Vetor de $q_3$ para P: ${\vec{r}}_3=(0.40-0.40)\widehat{i}+(0.30-0)\widehat{j}=0.30\widehat{j}$

• Distância: $r_3=0.30\text{m}$

• Vetor unitário: ${\widehat{r}}_3=\widehat{j}$

• $q_3>0$: campo sai da carga.

$$E_3=k_e\frac{q_3}{r_3^2}=(9.0\times {10}^9)\frac{6.0\times {10}^{-6}}{(0.30{)}^2}=(9.0\times {10}^9)\frac{6.0\times {10}^{-6}}{0.09}$$$$E_3=(9.0\times {10}^9)\times 6.667\times {10}^{-5}=6.00\times {10}^5\text{N/C}$$

Como $q_3$ está abaixo de P e é positiva, o campo em P aponta para cima ($+\widehat{j}$).

$${\vec{E}}_3=6.00\times {10}^5\widehat{j}\text{N/C}$$

Campo Resultante (${\vec{E}}_R$):

$${\vec{E}}_R={\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2+{\vec{E}}_3$$

Componente x:

$$E_{Rx}=-2.25\times {10}^5+1.44\times {10}^5+0=-0.81\times {10}^5=-8.1\times {10}^4\text{N/C}$$

Componente y:

$$E_{Ry}=0+1.08\times {10}^5+6.00\times {10}^5=7.08\times {10}^5\text{N/C}$$

Módulo:

$$\mathrm{\mid }{\vec{E}}_R\mathrm{\mid }=\sqrt{(-8.1\times {10}^4{)}^2+(7.08\times {10}^5{)}^2}=\sqrt{6.561\times {10}^9+5.013\times {10}^{11}}$$$$=\sqrt{5.0786\times {10}^{11}}\approx 7.127\times {10}^5\text{N/C}$$

Direção (ângulo θ com o eixo +x):

$$\theta =\arctan \left(\frac{E_{Ry}}{E_{Rx}}\right)=\arctan \left(\frac{7.08\times {10}^5}{-8.1\times {10}^4}\right)=\arctan (-8.741)$$

Como $E_{Rx}<0$ e $E_{Ry}>0$, o vetor está no 2º quadrante:

$$\theta ={180}^{\circ }+\arctan (-8.741)\approx {180}^{\circ }-{83.5}^{\circ }={96.5}^{\circ }$$$${\vec{E}}_R\approx 7.13\times {10}^5\text{N/C}\text{a}{96.5}^{\circ }\text{acima do eixo}-x$$

Ou: ${\vec{E}}_R\approx (-8.1\widehat{i}+70.8\widehat{j})\times {10}^4\text{N/C}$

---

Exercício 4 (Campo de uma Distribuição Contínua - Anel Carregado)

Um anel circular fino de raio $R=10.0\text{cm}$ possui uma carga total positiva $Q=+50.0\text{nC}$, uniformemente distribuída.
a) Deduza a expressão para o campo elétrico em um ponto $P$ sobre o eixo do anel, a uma distância $x$ do seu centro.
b) Calcule o módulo do campo elétrico em $x=20.0\text{cm}$.
c) Para $x\gg R$, mostre que a expressão se reduz ao campo de uma carga pontual. Por quê isso faz sentido fisicamente?

*(Cálculo clássico apresentado em todos os livros-texto, e.g., Young & Freedman, Exemplo 21.9)*

Exercício 4 - Resolução Minuciosa (Anel Carregado)

Dados:

• $R=0.100\text{m}$

• $Q=50.0\times {10}^{-9}\text{C}$

• Densidade linear: $\lambda =Q\mathrm{/}(2\pi R)$

(a) Dedução da expressão

Passo 1: Simetria. Por simetria, as componentes do campo perpendiculares ao eixo se cancelam aos pares. Só sobra componente ao longo do eixo (x).

Passo 2: Elemento de carga $dq$. Considere um elemento pequeno do anel com carga $dq$. A distância dele até P é:

$$d=\sqrt{R^2+x^2}$$

Passo 3: Campo do elemento $d\vec{E}$.

$$\mathrm{\mid }d\vec{E}\mathrm{\mid }=k_e\frac{dq}{d^2}=k_e\frac{dq}{R^2+x^2}$$

Passo 4: Componente axial. A componente ao longo do eixo x é:

$$d{E}_x=dE\cos \theta =k_e\frac{dq}{R^2+x^2}\cdot \frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}=k_e\frac{xdq}{(R^2+x^2{)}^{3\mathrm{/}2}}$$

Passo 5: Integração. Como $x$ e $R$ são constantes para todos os elementos:

$$E_x=\int d{E}_x=k_e\frac{x}{(R^2+x^2{)}^{3\mathrm{/}2}}\int dq=k_e\frac{xQ}{(R^2+x^2{)}^{3\mathrm{/}2}}$$$$\boxed{{\displaystyle \vec{E}=k_e\frac{Qx}{(R^2+x^2{)}^{3\mathrm{/}2}}\widehat{i}}}$$

(b) Cálculo para $x=0.200\text{m}$

$$E=(9.0\times {10}^9)\frac{(50.0\times {10}^{-9})(0.200)}{[(0.100{)}^2+(0.200{)}^2{]}^{3\mathrm{/}2}}$$$$R^2+x^2=0.0100+0.0400=0.0500{\text{m}}^2$$$$(R^2+x^2{)}^{3\mathrm{/}2}=(0.0500{)}^{3\mathrm{/}2}=(0.0500{)}^1\times (0.0500{)}^{1\mathrm{/}2}=0.0500\times 0.2236=0.01118{\text{m}}^3$$$$E=(9.0\times {10}^9)\frac{1.00\times {10}^{-8}}{0.01118}=(9.0\times {10}^9)\times 8.945\times {10}^{-7}$$$$\boxed{{\displaystyle E\approx 8.05\times {10}^3\text{N/C}}}$$

(c) Aproximação para $x\gg R$
Se $x\gg R$, então $R^2+x^2\approx x^2$. A expressão se torna:

$$E\approx k_e\frac{Qx}{(x^2{)}^{3\mathrm{/}2}}=k_e\frac{Qx}{x^3}=k_e\frac{Q}{x^2}$$

Que é exatamente o campo de uma carga pontual $Q$ a uma distância $x$.

Interpretação física: A uma distância muito maior que o raio do anel, os detalhes da distribuição de carga não são perceptíveis - o anel se comporta como se toda sua carga estivesse concentrada no centro.

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Exercício 5 (Configuração com Simetria e Cancelamento)

Quatro cargas pontuais de mesmo módulo $q$ estão fixas nos vértices de um quadrado de lado $L$. Duas são positivas e duas são negativas, dispostas alternadamente nos vértices.
a) Qual é a direção do campo elétrico no centro do quadrado? Justifique usando simetria.
b) Se todas as quatro cargas fossem positivas, qual seria o campo no centro?
c) Considere a configuração inicial (alternada). Uma partícula carregada é liberada do repouso no centro. Descreva qualitativamente seu movimento subsequente.

(Problema típico de simetria, e.g., Halliday, Resnick & Walker, Problema 22.56)

Exercício 5 - Resolução Minuciosa (Simetria no Quadrado)

Considere um quadrado ABCD (sentido anti-horário). Cargas alternadas: $A(+q)$, $B(-q)$, $C(+q)$, $D(-q)$.

(a) Campo no centro O com cargas alternadas

Análise por simetria:

1. As cargas em vértices opostos (A e C) são ambas $+q$.

2. As cargas em vértices opostos (B e D) são ambas $-q$.

3. O centro O é equidistante de todos os vértices.

Vetorialmente:

• Campo de A (positiva): sai de A, no centro aponta de A para O? Não! O campo de uma carga positiva no centro aponta para longe da carga. Como A está em um vértice, o campo em O aponta de O para longe de A.

• Campo de C (positiva): similar, aponta de O para longe de C.

• Esses dois vetores são opostos! A está na direção OP de A, C está na direção OP de C. Como A e C são vértices opostos, esses vetores são exatamente opostos e se cancelam.

O mesmo ocorre com B e D (negativas): o campo de uma carga negativa no centro aponta em direção à carga. B atrai, D atrai. Como B e D são opostos, esses vetores também se cancelam.

Conclusão: ${\vec{E}}_{\text{centro}}=\vec{0}$.

(b) Campo no centro com todas as cargas positivas

Se todas as quatro cargas fossem positivas ($+q$), o campo elétrico no centro do quadrado continuaria sendo nulo.

Nesta configuração, cada carga em um vértice cria um campo elétrico que aponta para o centro, mas é repelido com a mesma força em todas as direções por uma carga idêntica situada no vértice oposto. Como as distâncias e as magnitudes das cargas são iguais em todos os quatro cantos, os componentes vetoriais se anulam aos pares nas diagonais, resultando em um campo elétrico total igual a zero.

(c) Movimento de uma partícula carregada liberada no centro (configuração alternada)

No centro, $\vec{E}=\vec{0}$ ⇒ força inicial é zero. Mas isso é um equilíbrio instável.

• Se a partícula for positiva: qualquer pequeno deslocamento a levará para mais perto de uma carga negativa (onde o campo aponta para a carga negativa) ou para mais longe de uma carga positiva.

• Se a partícula for negativa: qualquer pequeno deslocamento a levará para mais perto de uma carga positiva (onde o campo aponta para longe da positiva, mas a força na carga negativa é oposta ao campo).

Resultado: A partícula será acelerada para fora do centro, em direção a um dos vértices, e seu movimento subsequente será complexo (não periódico simples) sob a ação das quatro cargas fixas, eventualmente colidindo com uma delas ou sendo ejetada do sistema.

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Observações Finais do Professor:

1. Campo vs Força: Sempre distinga $\vec{E}$ (propriedade do espaço) de $\vec{F}$ (ação sobre uma carga específica).

2. Simetria é sua amiga: Use-a sempre para simplificar cálculos e prever cancelamentos.

3. Cuidado com vetores: A direção $\widehat{r}$ é da carga fonte para o ponto do campo. Este é o erro mais comum!

4. Verificação dimensional: Sempre confira se N/C está correto.

Autor: Nilson Silva de Andrade

Professor Mestre em Ensino de Física e Licenciado em Física