Lei de Coulomb: A Força Invisível que Governa a Eletricidade (Eletrostática Fundamental)

Lei de Coulomb: A Força Invisível que Governa a Eletricidade (Eletrostática Fundamental)

O estudo da eletricidade, uma das áreas mais empolgantes da Física, tem sua fundação ancorada em uma lei simples, mas extremamente poderosa: a Lei de Coulomb. Esta lei descreve como as cargas elétricas interagem entre si, sendo o ponto de partida para a compreensão dos campos elétricos.

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1. Contexto Histórico: A Medição da Interação Elétrica

O estudo do eletromagnetismo desenvolveu-se como uma disciplina independente a partir do século XVIII. Anteriormente, fenômenos como o magnetismo já eram vistos como a "prototípica evidência de uma força invisível na Natureza". No entanto, coube a Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) realizar um estudo criterioso sobre a força elétrica entre corpos carregados.

Com base em experimentos de laboratório (utilizando uma balança de torção, semelhante à usada para estudar a atração gravitacional), Coulomb propôs, em 1785, a lei que hoje leva seu nome. O termo eletrostática é usado para enfatizar que esta lei é válida para situações em que a velocidade relativa entre as cargas é nula ou muito pequena.

Balance de Coulomb; Creditos da imagem: Commons.wikimedia por Alain.lerille  

2. O Princípio da Interação Elétrica

Antes de quantificar a força, Coulomb consolidou o princípio fundamental das interações elétricas: cargas de mesma natureza se repelem, e cargas de naturezas opostas se atraem.

• Atração: Cargas positivas e negativas (sinais opostos) se atraem.
• Repulsão: Cargas positivas com positivas, ou negativas com negativas (mesmo sinal), se repelem.

Essa dualidade é a principal diferença observável em relação à força gravitacional, que é sempre atrativa.

3. O Enunciado Matemático da Lei de Coulomb

A Lei de Coulomb estabelece a relação quantitativa para o módulo da força eletrostática ( F)  entre duas partículas carregadas (q1 e q2):

A força de interação eletrostática é:

1. Diretamente proporcional ao produto das cargas envolvidas ( |q1  q2|).
2. Inversamente proporcional ao quadrado da distância (r²) entre elas.
3. Possui a direção da linha reta que une as cargas.

Matematicamente, para cargas no vácuo ou no ar, a lei é frequentemente expressa como:

$$\mathbf{F} = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

Onde \( k \) é a constante eletrostática, cujo valor é de aproximadamente \( 9,0 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2 \).A constante \( k \) também pode ser expressa em função da permissividade do vácuo ( \( \epsilon_0 \)), onde  \( k = 1/(4\pi\epsilon_0)$, com $\epsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/(\text{Nm}^2)  \). Deve-se notar que, ao contrário da constante gravitacional  \( G  \), o valor da constante  \(   K \) depende do meio em que as cargas estão imersas.

\[ 9,0 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2 \]

4. Aplicações e Princípios Adicionais

Cargas Puntiformes e Superposição

É fundamental saber que a Lei de Coulomb é uma lei de força que se aplica apenas a partículas puntiformes ou a objetos que podem ser tratados como tal.

Quando um sistema possui mais de duas cargas, a força total exercida sobre uma das partículas é dada pelo Princípio da Superposição de Forças. Isso significa que a força total é a soma vetorial das forças exercidas por cada uma das outras cargas individualmente.

A Ligação com Campos Elétricos (Eletrodinâmica)

A Lei de Coulomb serve de base para o conceito de campo elétrico. O campo elétrico ( \(   \vec{E} \) ) criado por uma carga puntiforme ( \(  Q \)) a uma distância \(   r \) pode ser definido a partir da força de Coulomb.

Embora Coulomb seja a lei de força fundamental da eletricidade, na Física e na Engenharia, muitos cálculos futuros se baseiam em conceitos de campos e potenciais. Posteriormente, a Lei de Gauss (também relacionada ao campo elétrico) foi desenvolvida e demonstrou ser equivalente à Lei de Coulomb, mas é considerada mais geral, pois se aplica até mesmo à eletrodinâmica dos campos variáveis com o tempo.

5. Analogia com a Gravitação Universal

A Lei de Coulomb é notável por sua similaridade com a Lei da Gravitação Universal de Newton, sendo ambas consideradas matematicamente idênticas em sua forma funcional.

Característica	Lei de Coulomb (Elétrica)	Lei da Gravitação Universal (Gravitacional)
Força Central	Sim, atua na linha que une as cargas.	Sim, atua na linha que une as massas.
Dependência da Distância	Inversamente proporcional ao quadrado da distância  1/r^2 .	Inversamente proporcional ao quadrado da distância 1/r^2 .
Natureza da Força	Atrativa ou Repulsiva (depende de dois tipos de carga).	Atrativa apenas (associada a um único tipo de massa).
Constante	K (depende do meio).	G (não depende do meio).
Intensidade	Muito mais intensa que a gravitacional.	Muito mais fraca que a elétrica.

Embora a interação gravitacional seja crucial para as grandes estruturas (como as órbitas planetárias, assunto da teoria de Newton da gravitação), a interação elétrica, descrita pela Lei de Coulomb, é a que governa as interações elementares em nível atômico e molecular.

6. Exercícios Resolvidos: Colocando a Lei de Coulomb em Prática

Para consolidar o seu entendimento sobre a Força Eletrostática e o Princípio da Superposição, analisaremos alguns exemplos fundamentais que exigem tanto a compreensão vetorial quanto a aplicação da fórmula de Coulomb.

Exercício 1 (Conceitual e Direto)

Duas pequenas esferas condutoras idênticas, A e B, estão separadas por uma distância de 0.30 m. A esfera A tem carga de \(+12.0 \, \mu\text{C}\) e a esfera B tem carga de \(-18.0 \, \mu\text{C}\).

a) Qual é o módulo da força eletrostática que uma esfera exerce sobre a outra?

b) A força é atrativa ou repulsiva? Explique.

c) Se as esferas forem colocadas em contato momentâneo e depois reposicionadas a 0.30 m de distância, qual será o módulo da nova força entre elas? (Considere que as cargas se redistribuem igualmente por serem idênticas).

*(Adaptado de Serway & Jewett, Exemplo 23.1 e Problema 23.13)*

RESOLUÇÃO:

Dados:

q_A = +12.0 μC = +12.0 × 10⁻⁶ C
q_B = -18.0 μC = -18.0 × 10⁻⁶ C
r = 0.30 m

k_e ≈ 9.0 × 10⁹ N·m²/C²

(a) Módulo da Força Eletrostática Inicial

A Lei de Coulomb nos dá o módulo da força. Os sinais das cargas só indicam atração/repulsão.

$$F=k_e\frac{\mathrm{\mid }{q}_A\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }{q}_B\mathrm{\mid }}{r^2}$$$$F=(9.0\times {10}^9)\frac{(12.0\times {10}^{-6})\cdot (18.0\times {10}^{-6})}{(0.30{)}^2}$$

Passo 1: Calcular o produto das cargas em módulo.

$$\mathrm{\mid }{q}_A\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }{q}_B\mathrm{\mid }=(12.0\times {10}^{-6})\cdot (18.0\times {10}^{-6})=216.0\times {10}^{-12}=2.16\times {10}^{-10}{\text{C}}^2$$

Passo 2: Calcular o quadrado da distância.

$$r^2=(0.30{)}^2=0.09{\text{m}}^2$$

Passo 3: Substituir na fórmula.

$$F=(9.0\times {10}^9)\frac{2.16\times {10}^{-10}}{0.09}$$$$F=(9.0\times {10}^9)\cdot (2.4\times {10}^{-9})$$$$F=21.6\text{N}$$

(b) Natureza da Força
Como as cargas têm sinais opostos (+ e -), a força entre elas é atrativa. A esfera A puxa a B para a esquerda, e a B puxa a A para a direita (par ação-reação de Newton).

(c) Força Após o Contato e Redistribuição

Passo 1: Carga total do sistema. O contato permite que os elétrons fluam até o equilíbrio.

$$q_{\text{total}}=q_A+q_B=(+12.0\mu \text{C})+(-18.0\mu \text{C})=-6.0\mu \text{C}$$

Passo 2: Redistribuição igual por serem esferas idênticas. Após separadas, cada uma terá metade da carga total.

$$q_A^{\mathrm{\prime }}=q_B^{\mathrm{\prime }}=\frac{q_{\text{total}}}{2}=\frac{-6.0\mu \text{C}}{2}=-3.0\mu \text{C}=-3.0\times {10}^{-6}\text{C}$$

Passo 3: Calcular a nova força. Agora as cargas são iguais e de mesmo sinal.

$$F^{\mathrm{\prime }}=k_e\frac{\mathrm{\mid }{q}_A^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }{q}_B^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}{r^2}=(9.0\times {10}^9)\frac{(3.0\times {10}^{-6})\cdot (3.0\times {10}^{-6})}{(0.30{)}^2}$$$$F^{\mathrm{\prime }}=(9.0\times {10}^9)\frac{9.0\times {10}^{-12}}{0.09}=(9.0\times {10}^9)\cdot (1.0\times {10}^{-10})$$$$F^{\mathrm{\prime }}=0.90\text{N}$$

A força agora é repulsiva (cargas de mesmo sinal, ambas negativas).

Exercício 2 (Aplicação do Princípio da Superposição)

Três cargas pontuais estão dispostas em linha, conforme a figura (representada textualmente).

    q1                           q2                         q3

   +3.0 μC               -4.0 μC                  +5.0 μC

      <--- 0.20 m --->       <--- 0.15 m --->

```

A carga \( q_1 = +3.00 \, \mu\text{C} \) está na origem (\(x=0\)). A carga \( q_2 = -4.00 \, \mu\text{C} \) está em \(x = 0.200 \, \text{m}\). A carga \( q_3 = +5.00 \, \mu\text{C} \) está em \(x = 0.350 \, \text{m}\).

Calcule a **força resultante** (módulo e direção) que atua sobre a carga \( q_3 \) devido à influência das cargas \( q_1 \) e \( q_2 \).

*(Problema similar a Young & Freedman, Exercício 21.31)*

RESOLUÇÃO

Dados Convertidos:

  q1 = +3.00e-6 C,      q2 = -4.00e-6 C,     q3 = +5.00e-6 C
   r_13 = 0.350 m

     r_23 = 0.150 m

Força de q1 sobre q3 (F_13):

• Sinais: q1 e q3 são positivos → Força Repulsiva. q1 empurra q3 para a direita (+x).

• Módulo:

$$F_{13}=k_e\frac{\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{q}_3\mathrm{\mid }}{r_{13}^2}=(9.0\times {10}^9)\frac{(3.00\times {10}^{-6})(5.00\times {10}^{-6})}{(0.350{)}^2}$$$$F_{13}=(9.0\times {10}^9)\frac{1.50\times {10}^{-11}}{0.1225}=(9.0\times {10}^9)(1.2245\times {10}^{-10})$$$$F_{13}\approx 1.102\text{N}$$

• Vetor: F_13 = +1.102 î N (aponta no sentido +x).

Força de q2 sobre q3 (F_23):

• Sinais: q2 é negativo, q3 é positivo → Força Atrativa. q2 puxa q3 para a esquerda (-x).

• Módulo:

$$F_{23}=k_e\frac{\mathrm{\mid }{q}_2\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }{q}_3\mathrm{\mid }}{r_{23}^2}=(9.0\times {10}^9)\frac{(4.00\times {10}^{-6})(5.00\times {10}^{-6})}{(0.150{)}^2}$$$$F_{23}=(9.0\times {10}^9)\frac{2.00\times {10}^{-11}}{0.0225}=(9.0\times {10}^9)(\mathrm{8.888...}\times {10}^{-10})$$$$F_{23}\approx 8.00\text{N}$$

• Vetor: F_23 = -8.00 î N (aponta no sentido -x).

Força Resultante sobre q3 (F_R):
Aplicamos o Princípio da Superposição (soma vetorial):

$${\vec{F}}_R={\vec{F}}_{13}+{\vec{F}}_{23}$$$$F_R=(+1.102\text{N})+(-8.00\text{N})=-6.898\text{N}$$$$\boxed{{\displaystyle {\vec{F}}_R\approx -6.90\widehat{i}\text{N}}}$$

Interpretação: A força resultante sobre a carga q3 tem módulo de 6.90 N e aponta para a esquerda (sentido negativo do eixo x), devido à forte atração exercida pela carga negativa próxima (q2).

Exercício 3 (Configuração Bidimensional - Equilíbrio)

Duas cargas positivas idênticas \( +Q \) estão fixas no eixo y, simetricamente dispostas em \(y = +a\) e \(y = -a\).

a) Uma terceira carga de teste positiva \( +q \) é colocada sobre o eixo x, em \(x = d\). Determine a expressão para a força resultante (vetor) em \( +q \) em função de \(Q, q, a, d\) e \(k_e\).

b) Uma carga de teste negativa \( -q \) é colocada sobre o eixo x, em \(x = d\). A força resultante sobre ela terá o mesmo módulo, direção e sentido que no item (a)? Justifique vetorialmente.

c) Se \( +q \) for substituída por uma carga negativa \( -2q \), como a força resultante se altera?

*(Inspirado em problemas de simetria do Halliday, Resnick & Walker, Cap. 21)*

RESOLUÇÃO

(a) Carga +q em x = d

DIAGRAMA: Desenhe os eixos x e y. Coloque +Q em (0, a) e (0, -a). Coloque +q em (d, 0).

Passo 1: Força da carga superior (Q1 em (0,a)) sobre +q.

Vetor distância: r_1 = d î - a ĵ

Distância: r_1 = sqrt(d² + a²)
Direção: Cargas positivas → Repulsão. A força F_1 aponta para longe de Q1, ou seja, na direção do vetor (d, -a).
Vetor unitário: û_1 = (d î - a ĵ) / sqrt(d²+a²)

Vetor força:

$${\vec{F}}_1=k_e\frac{Q\cdot q}{d^2+a^2}\cdot \frac{d\widehat{i}-a\widehat{j}}{\sqrt{d^2+a^2}}=k_e\frac{Qq}{(d^2+a^2{)}^{3\mathrm{/}2}}(d\widehat{i}-a\widehat{j})$$

Passo 2: Força da carga inferior (Q2 em (0,-a)) sobre +q.

Vetor distância: r_2 = d î + a ĵ

Distância: r_2 = sqrt(d² + a²) (igual à anterior por simetria).
Direção: Repulsão. A força F_2 aponta para longe de Q2, na direção do vetor (d, a).
Vetor unitário: û_2 = (d î + a ĵ) / sqrt(d²+a²)

Vetor força:

$${\vec{F}}_2=k_e\frac{Q\cdot q}{d^2+a^2}\cdot \frac{d\widehat{i}+a\widehat{j}}{\sqrt{d^2+a^2}}=k_e\frac{Qq}{(d^2+a^2{)}^{3\mathrm{/}2}}(d\widehat{i}+a\widehat{j})$$

Passo 3: Soma Vetorial (Superposição).

$${\vec{F}}_R={\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2=k_e\frac{Qq}{(d^2+a^2{)}^{3\mathrm{/}2}}[(d\widehat{i}-a\widehat{j})+(d\widehat{i}+a\widehat{j})]$$$${\vec{F}}_R=k_e\frac{Qq}{(d^2+a^2{)}^{3\mathrm{/}2}}(2d\widehat{i}+0\widehat{j})$$$$\boxed{{\displaystyle {\vec{F}}_R=2k_e\frac{Qq\cdot d}{(d^2+a^2{)}^{3\mathrm{/}2}}\widehat{i}}}$$

(b) Carga -q em x = d
A força muda de sinal! A Lei de Coulomb é F = k_e (q1 q2 / r²) û.
Para Q1 e -q: (Q * (-q)) = -Qq. A força F_1' será:

$${\vec{F}}_1^{\mathrm{\prime }}=k_e\frac{Q\cdot (-q)}{(d^2+a^2{)}^{3\mathrm{/}2}}(d\widehat{i}-a\widehat{j})=-{\vec{F}}_1$$

O mesmo ocorre com F_2' = - \vec{F}_2. Portanto:

$${\vec{F}}_R^{\mathrm{\prime }}=-{\vec{F}}_1-{\vec{F}}_2=-{\vec{F}}_R$$

Resposta: A força sobre -q terá o mesmo módulo, a mesma direção (eixo x), mas sentido oposto (para a esquerda, -î). A atração substitui a repulsão, invertendo o sentido.

(c) Carga -2q em x = d
Basta substituir q por -2q na expressão final do item (a):

$${\vec{F}}_R^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=2k_e\frac{Q\cdot (-2q)\cdot d}{(d^2+a^2{)}^{3\mathrm{/}2}}\widehat{i}=-4k_e\frac{Qq\cdot d}{(d^2+a^2{)}^{3\mathrm{/}2}}\widehat{i}$$

A força tem módulo duas vezes maior que a força sobre -q (ou 4 vezes a de +q em módulo) e aponta para -î (esquerda).

Exercício 4 (Força Eletrostática vs. Gravitação)

No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, o elétron (\( m_e = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}, \, q_e = -1.60 \times 10^{-19} \, \text{C} \)) gira em torno do próton (\( q_p = +1.60 \times 10^{-19} \, \text{C} \)) em uma órbita de raio médio \( r = 5.29 \times 10^{-11} \, \text{m} \).

a) Calcule o módulo da força eletrostática de atração entre o próton e o elétron nessa distância.

b) Calcule o módulo da força gravitacional de atração entre eles (dado: \( G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2, \, m_p = 1.67 \times 10^{-27} \, \text{kg} \)).

c) Compare as duas forças calculando a razão \( F_e / F_g \). O que este resultado implica sobre a importância relativa das duas forças em sistemas atômicos?

*(Cálculo clássico apresentado em todos os livros-texto citados, e.g., Young & Freedman, Exemplo 21.1)*

RESOLUÇÃO

Dados:

q1 = +e = +1.60e-19 C

q2 = -e = -1.60e-19 C
r = 5.29e-11 m
m_p = 1.67e-27 kg
m_e = 9.11e-31 kg
G = 6.67e-11 N·m²/kg²
k_e = 9.0e9 N·m²/C²

(a) Força Eletrostática (F_e):

$$F_e=k_e\frac{\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }}{r^2}=(9.0\times {10}^9)\frac{(1.60\times {10}^{-19}{)}^2}{(5.29\times {10}^{-11}{)}^2}$$

Passo 1: (1.60e-19)^2 = 2.56e-38
Passo 2: (5.29e-11)^2 = 2.79841e-21
Passo 3: F_e = (9.0e9) * (2.56e-38) / (2.79841e-21)
Passo 4: F_e = (9.0e9) * (9.148e-18)

$$\boxed{{\displaystyle F_e\approx 8.23\times {10}^{-8}\text{N}}}$$

(b) Força Gravitacional (F_g):

$$F_g=G\frac{m_p{m}_e}{r^2}=(6.67\times {10}^{-11})\frac{(1.67\times {10}^{-27})(9.11\times {10}^{-31})}{(5.29\times {10}^{-11}{)}^2}$$

Passo 1: (1.67e-27)*(9.11e-31) = 1.52137e-57
Passo 2: Usar r² = 2.79841e-21 do item (a).
Passo 3: F_g = (6.67e-11) * (1.52137e-57) / (2.79841e-21)
Passo 4: F_g = (6.67e-11) * (5.436e-37)

$$\boxed{{\displaystyle F_g\approx 3.63\times {10}^{-47}\text{N}}}$$

(c) Razão F_e / F_g:

$$\frac{F_e}{F_g}=\frac{8.23\times {10}^{-8}}{3.63\times {10}^{-47}}$$$$\frac{F_e}{F_g}\approx 2.27\times {10}^{39}$$

Interpretação Física: A força eletrostática é aproximadamente 2.3 undecilhões (10³⁹) de vezes mais forte que a força gravitacional no átomo de hidrogênio. Isso explica por que, em fenômenos atômicos e moleculares, as forças gravitacionais são completamente desprezíveis perante as forças eletromagnéticas. A coesão da matéria em nossa escala é dominada pelo eletromagnetismo.

Exercício 5 (Desafio - Configuração com Simetria)

Quatro cargas pontuais idênticas \( +q \) (\( q > 0 \)) estão fixas nos vértices de um quadrado de lado \( L \).

a) Uma quinta carga \( +Q \) é posicionada no centro do quadrado. Qual é a força resultante sobre \( +Q \)? Justifique usando simetria.

b) Se a carga central for \( -Q \), a força resultante muda? Justifique.

c) Agora, remova a carga central. Qual é a força resultante (módulo, direção e sentido) sobre uma das cargas nos vértices devido às outras três? (Dê sua resposta em termos de \( q, L, k_e \) e constantes numéricas).

*(Problema típico de superposição com simetria, e.g., Halliday, Resnick & Walker, Problema 21.57)*

RESOLUÇÃO

Considere um quadrado de lado L, vértices A, B, C, D (em ordem). Cargas +q em A(0,0), B(L,0), C(L,L), D(0,L).

(a) Carga +Q no centro O(L/2, L/2).
Por simetria perfeita, cada uma das quatro cargas nos vértices exerce uma força de repulsão sobre +Q no centro, de mesmo módulo e apontando radialmente para fora do quadrado. As forças são aos pares opostas. A força de A é cancelada pela de C. A força de B é cancelada pela de D.

$$\boxed{{\displaystyle {\vec{F}}_{resultantesobre+Q}=\vec{0}}}$$

(b) Carga -Q no centro O.
Agora, todas as forças são atrativas. Cada carga +q atrai -Q na direção do vértice correspondente. Novamente, por simetria, os vetores força se cancelam aos pares.

$$\boxed{{\displaystyle {\vec{F}}_{resultantesobre-Q}=\vec{0}}}$$

Observação do Professor: Em uma configuração simétrica de cargas iguais nos vértices de um polígono regular, uma carga central de qualquer sinal sente força resultante nula. A simetria é mais forte que o sinal da interação.

(c) Força sobre uma carga do vértice (e.g., carga em A) devido às outras três.
Vamos calcular a força sobre a carga em A(0,0) devido às cargas em B(L,0), C(L,L) e D(0,L).

• Força de B sobre A (F_BA):

  • Distância: r_BA = L

  • Sinais: Ambas +q → Repulsão. Empurra A para a esquerda (sentido -x).

  $${\vec{F}}_{BA}=k_e\frac{q^2}{L^2}(-\widehat{i})=-\frac{k_e{q}^2}{L^2}\widehat{i}$$

1. Força de D sobre A (F_DA):

Distância: r_DA = L
Repulsão. Empurra A para baixo (sentido -y).

1. $${\vec{F}}_{DA}=k_e\frac{q^2}{L^2}(-\widehat{j})=-\frac{k_e{q}^2}{L^2}\widehat{j}$$

2. Força de C sobre A (F_CA): (A mais trabalhosa)

Distância: r_CA = sqrt(L² + L²) = L√2

Vetor de C para A: (0 - L) î + (0 - L) ĵ = -L î - L ĵ
Vetor unitário: û_CA = (-L î - L ĵ) / (L√2) = (-î - ĵ)/√2
Módulo da força: F_CA = k_e q² / (L√2)² = k_e q² / (2L²)
Vetor força:

1. $${\vec{F}}_{CA}=\left(k_e\frac{q^2}{2L^2}\right)\cdot \left(\frac{-\widehat{i}-\widehat{j}}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{k_e{q}^2}{2\sqrt{2}{L}^2}\widehat{i}-\frac{k_e{q}^2}{2\sqrt{2}{L}^2}\widehat{j}$$

2. Força Resultante sobre A (F_R): Soma das componentes x e y.

   $$F_{R,x}=-\frac{k_e{q}^2}{L^2}+0+(-\frac{k_e{q}^2}{2\sqrt{2}{L}^2})=-\frac{k_e{q}^2}{L^2}(1+\frac{1}{2\sqrt{2}})$$

   Simplificando 1/(2√2) = √2/4 ≈ 0.3536.

   $$F_{R,x}=-\frac{k_e{q}^2}{L^2}(1+0.3536)=-1.3536\frac{k_e{q}^2}{L^2}$$$$F_{R,y}=0+(-\frac{k_e{q}^2}{L^2})+(-\frac{k_e{q}^2}{2\sqrt{2}{L}^2})=-\frac{k_e{q}^2}{L^2}(1+\frac{1}{2\sqrt{2}})=-1.3536\frac{k_e{q}^2}{L^2}$$

   Módulo da Força Resultante:

   $$F_R=\sqrt{F_{R,x}^2+F_{R,y}^2}=\sqrt{2}\cdot 1.3536\frac{k_e{q}^2}{L^2}$$$$F_R=(1.3536\cdot \sqrt{2})\frac{k_e{q}^2}{L^2}\approx (1.3536\cdot 1.4142)\frac{k_e{q}^2}{L^2}$$$$\boxed{{\displaystyle F_R\approx 1.914\frac{k_e{q}^2}{L^2}}}$$

   Direção: Como F_R,x = F_R,y e ambas são negativas, a força aponta na diagonal saindo do quadrado, exatamente na direção que vai do vértice C para o vértice A, ou seja, ao longo da reta y = x no terceiro quadrante (ângulo de 225° com o eixo +x). Formalmente:

   $$\theta =\arctan \left(\frac{F_{R,y}}{F_{R,x}}\right)=\arctan (1)={225}^{\circ }$$

$$\boxed{{\displaystyle {\vec{F}}_R\approx -1.914\frac{k_e{q}^2}{L^2}\cos ({45}^{\circ })\widehat{i}-1.914\frac{k_e{q}^2}{L^2}\sin ({45}^{\circ })\widehat{j}}}$$

Observação Final: Note que a simetria do problema facilitou o cálculo, pois as componentes x e y da força resultante foram iguais.

Referências

CHAVES, Fernando Miguel Pacheco. Física B. [S.l.: s.n.].

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Física 3: Eletromagnetismo. Tradução e revisão técnica: Ronaldo Sérgio de Biasi. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
KNIGHT, Randall D. Física: Uma Abordagem Estratégica. Vol. 1. Tradução: Trieste Ricci. Revisão técnica: André Koch Torres Assis. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009.
KNIGHT, Randall D. Física: Uma Abordagem Estratégica. Vol. 3. Tradução: Trieste Ricci. Revisão técnica: André Koch Torres Assis. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009.
LIPINSKI, G. J. Física Geral II: Notas de Aula. [S.l.: s.n.].
SEVERINO, J. M. Eletromagnetismo. [S.l.: s.n.]. (Nota: O título foi inferido a partir de "Eletromagnetismo.pdf". O autor é uma suposição comum para materiais didáticos com esse título).
SILVA, Wilton P. da; FARIAS, Alberione G. Física: Introdução ao Estudo do Eletromagnetismo. [S.l.: s.n.]. (Nota: O título foi inferido a partir do nome do arquivo. Os autores são uma suposição).

Autor: Nilson Silva de Andrade

Professor Mestre em Ensino de Física e Licenciado em Física